反复按余弦键 – 搞英语 → 看世界

无论你从什么数字开始，如果你反复按计算器上的 cos 键，数字最终会停止变化。这个事实被无数玩计算器的孩子重新发现。

如果您从 0 开始（这可能是打开计算器时的默认值），那么您将在 90 步后达到最终值 [1]。您可以使用以下 Python 代码来验证这一点。

 从数学导入 cos 
  
 
  
    x = 0 
  
    对于范围（100）内的 i： 
  
        x = 余弦 (x) 
  
        打印（i，x）

从迭代 90 开始，代码每次都会打印 0.7390851332151607。

可视化收敛

让我们使用蛛网图可视化值的序列。这是我四年前为一篇文章制作的图像，从x = 1 开始。

用于迭代余弦的蛛网图

要阅读该图，请从水平轴上的x = 1 开始。黑色实线是余弦函数的图，因此蓝线起点高于 1 的点是y = cos(1) = 0.54。

由于我们要将输出重新转换为余弦作为输入，因此我们需要将y转换为x 。我们通过将点滑动到表示y = x 的虚线来实现此目的。这将创建水平蓝线，它是螺旋的第一段。这将我们带到了点 (cos(1), cos(1))。

现在，当我们再次取余弦时，我们得到 cos(cos(1)) = 0.86。现在，我们从之前的y = 0.54 值更改为新的y = 0.86 值。这给出了我们螺旋的下一段。我们再次需要将y转换为x ，因此我们像以前一样滑到线y = x ，只是这次我们是从左侧而不是右侧接近。

我们很快就到达了无法再看到收敛的地方。上图使用了 20 次迭代，最终在收敛点周围出现了一个蓝色斑点。

我们说过迭代对于任何起点都是收敛的。这是为什么？

一方面，我们不妨假设x介于 0 和 1 之间；如果不是，则将在一次迭代之后。

中值定理表示对于 [0, 1] 中的任何对x ₁和x ₂ ，

cos( x ₁ ) − cos( x ₂ ) = − sin( c ) ( x ₁ − x ₂ )

对于 [0, 1] 中的某个c ，因为 cos( x ) 的导数是 − sin( x )。由此可见

| cos( x ₁ ) − cos( x ₂ ) | ≤ 罪(1) | x ₁ − x ₂ |

因为 sin( x ) 在 [0, 1] 上的最大值是 sin(1)。由于 sin(1) = 0.84… 小于 1，这表示余弦是 [0, 1] 上的收缩映射，因此存在一个不动点p使得 cos( p ) = p 。

我们可以用它来计算k 次迭代后x距固定点p 的距离的上限：

| x − p | ≤ sin(1) ^k

因此，如果我们想要位于固定点的距离 ε 之内，我们需要

k ≥ log(ε) / log(sin(1))。

这表示要获得定点的浮点精度（大约 10 ^-16 ），需要 214 次迭代。这是事实，但这是一个悲观估计，因为它基于 sin( c ) 的悲观估计。

一旦我们接近固定点p ，收敛速度就更像是 sin( p ) ^k而不是 sin(1) ^k 。这表明在大约 90 次迭代后我们应该在定点的浮点精度内，这就是我们在帖子顶部看到的。