多角度和奥斯本规则 – 搞英语 → 看世界

这篇文章的动机是 [1] 中的一个练习，该练习说

证明对于双曲函数……公式与第 2.3 节中的公式类似，所有减号都替换为加号。

我的第一个想法是，这听起来像奥斯本规则，这是一种在（循环）三角恒等式和双曲三角恒等式之间转换的启发式规则。正如该文章所解释的，奥斯本规则是欧拉身份的简单结果。

那么这个练习所指的公式是什么？

正弦到双曲正弦

这是正弦的恒等式。

$\sin n\theta = \binom{n}{1} \cos^{n-1}\theta \sin\theta - \binom{n}{3} \cos^{n-3}\theta \sin^ 3\theta + \binom{n}{5} \cos^{n-5}\theta \sin^5\theta -\cdots$

奥斯本规则规定将 sin 更改为 sinh，将 cos 更改为 cosh，并在两个 sinh 项相乘时翻转符号。 sin³ θ 项失去了负号，因为两个正弦相乘。 sin ⁵ θ 项改变符号两次，因此最终结果是它不改变符号。所以我们有以下内容。

$\sinh n\theta = \binom{n}{1} \cosh^{n-1}\theta \sinh\theta + \binom{n}{3} \cosh^{n-3}\theta \sinh^ 3\theta + \binom{n}{5} \cosh^{n-5}\theta \sinh^5\theta + \cdots$

余弦到双曲余弦

余弦恒等式

$\cos n\theta = \cos^n \theta - \binom{n}{2} \cos^{n-2}\theta \sin^2 \theta + \binom{n}{4} \cos^{ n-4} \theta \sin^4\theta - \cdots$

变成

$\tanh n\theta = \frac{\binom{n}{1} \tanh \theta + \binom{n}{3} \tanh^3 \theta + \binom{n}{5} \tanh^5 \ θ + \cdots}{1 + \binom{n}{2} \tanh^2 \theta + \binom{n}{4} \tanh^4\theta + \cdots}$

通过类似的推理。

正切与双曲正切

如果您将每个正切想象为 sin/cos，奥斯本规则也适用于 tan 和 tanh。

因此

$\tan n\theta = \frac{\binom{n}{1} \tan \theta - \binom{n}{3} \tan^3 \theta + \binom{n}{5} \tan^5 \ θ - \cdots}{1 - \binom{n}{2} \tan^2 \theta + \binom{n}{4} \tan^4\theta - \cdots}$

变成

$\tanh n\theta = \frac{\binom{n}{1} \tanh \theta + \binom{n}{3} \tanh^3 \theta + \binom{n}{5} \tanh^5 \ θ + \cdots}{1 - \binom{n}{2} \tanh^2 \theta + \binom{n}{4} \tanh^4\theta + \cdots}$

正弦到双曲正弦

余弦到双曲余弦

正切与双曲正切

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