vis-viva 方程极大地简化了轨道力学中的一些计算。这让人想起能量守恒有时可以使看似复杂的问题变得微不足道。事实上，vis-viva方程是从能量守恒推导出来的，但推导过程并不简单。这很好：推导过程中所需的努力意味着该方程是通往从第一原理开始可能需要更长时间才能到达的地方的捷径。
vis viva一词是拉丁语，意思是“生命力”，大约 350 年前由李布尼茨应用于力学。 vis-viva 方程也称为 vis-viva 定律或 vis-viva 积分。
vis-viva 方程表示，对于一个在开普勒轨道上绕另一个物体运行的物体
这里v是两个物体的相对速度， r是它们的质心之间的距离， a是轨道的半长轴。常数μ是标准引力参数。它等于引力常数G与两个物体的总质量M的乘积。
在实践中，让M为较大物体的质量通常足够准确；这适用于绕地球运行的GPS 卫星，但不足以描述围绕冥王星运行的冥卫一。
对于圆形轨道， r = a ，因此v ² = μ/ r 。那么r是常数， v是常数。
更一般地说， a是常数，但r不断变化，vis-viva 方程说明了r和v在任何给定时刻的关系。例如，这表明当距离最大时速度最小。
为了使一个物体逃离另一个物体的轨道，其轨道的椭圆必须变得无限大，即a → ∞。这表示如果v是逃逸速度，则 v ² = 2μ/ r 。对于行星表面的火箭， r是行星的半径。但对于已经处于高轨道的物体，逃逸速度较小，因为r较大。
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帖子“vis-viva 方程”首次出现在John D. Cook上。
原文： https://www.johndcook.com/blog/2024/12/05/the-vis-viva-equation/